В начало » ЖЖ

Калибровочная симметрия

13 июня 2012 805 views Нет комментариев

Image #1481177, 55.1 KB

Жил–был в 18 веке такой парень по фамилии Мопертюи и искал проявления божественности в физике. Не уверен насчёт божественности, но он обнаружил очень интересную вещь: любой механической системе можно сопоставить некоторую фукцию координат и скоростей, которая при движении системы остаётся всегда минимальной. Еще интересней получается если прочитать наоборот: механическая система из всех возможный путей будет эволюционировать только по тому, на котором эта функция будет минимальна. Фукцию он назвал действием, а своё открытие принципом наименьшего действия.

Через какое–то время об этом узнал корифей Лагранж и основательно доработал эту теорию. Он понял, что принцип наименьшего действия гораздо более фундаментален, чем законы Ньютона. То есть если требовать минимальность действия, то уравнения Ньютона получаются сами собой. Произвол остаётся только в одном: что выбирать в качестве действия? Для механики это площадь под графиком разности кинетической и потенциальной энергии по времени. Немного мудрёно, поэтому Лагранж решил — нафиг площади под графиком, буду работать просто с разностью энергий (эту функцию потомки назовут лагранжианом). И получилась простая теория: берём определенного вида лагранжиан, минимизируем действие которое он порождает и получаем профит в виде уравнений движения. Это можно сделать разными способами и в результате будем получать уравнения Ньютона, Лагранжа, Гамильтона. В механике они почти эквивалентны, но в определённых ситуациях одни гораздо удобнее других.

Потом Максвелл открыл свои знаменитые уравнения описывающие электромагнитное поле и через какое–то время народ вспомнил про принцип наименьшего действия и решили проверить получится ли так же с уравнениями Максвелла как в совё время с уравнениями Ньютона? Проверили. Получилось. Всё так же: подбираем лагранжиан, минизируем действие полученное из лагранжиана и получаем уравнения Максвелла.

После этого физики уже не пытались получать сначала уравнения полей, а сразу старались подобрать лагранжиан. Так были открыты уравнения движения для сильного и слабого взаимодействий. А теперь можно и про калибровку.

 

Калибровочная симметрия это такая симметрия полей, когда мы изменяем что–то ненаблюдаемое и неизмеряемое в описании этих полей, а измеряемые величины на это никак не реагируют. Как пример — электростатическое поле, которое можно описать пространственным распределением скалярного потенциала. Изменим во всех точках пространства потенциал на одинаковую величину, а поле останется тем же. Чуть сложнее — магнитостатика. Тут мы поле можем описать вектор–потенциалом, но осмысленная его часть обязательно будет вихревой. То есть если мы добавим к полю вектор–потенциала любое другое поле, которое можно описать через градиент скалярной функции, на магнитном поле это никак не отразится. Не почувствуют этого и уравнения поля, в данном случае уравнения Максвелла, пофигу в каком они виде записаны, для векторов полей или для 4–потенциала. В квантовой механике появляется свое поле — волновое, которым описывают частицы. Это поле, в том же смысле измерений чего вообще измеряется, инвариантно относительно сдвига фазы волновой функции везде на одинаковую величину. Опять же, на «уравнениях движения» этот сдвиг фазы не отразится.

Некалибровочные аналоги всех этих калибровочных симметрий — трансляционная симметрия пространства и времени (неважно где и когда мы делаем эксперимент), вращения, идентичность разных ИСО в СТО. Это всё в сферическом вакууме, конечно. В воображаемых космических условиях, когда нет возможности ориентироваться по компасу, по силе ветра и прочее.

Сложно? Ладно, давайте перейдем к основам:

Основа квантовой механики в том, что измеряя что–то мы это разрушаем, т.е. если совсем грубо — чтобы проверить горит ли спичка надо ее зажечь, но если это сделать эксперимент становится бессмысленным — спичка сгорит. При измерениях в большом мире, где обитает наш мозг мы прикладываем линейку и практически не замечаем как мы этим самым изменили длинну предмета, который измеряем, а вот в микро мире пример со спичкой намного актуальнее. Это краеугольный камень любых измерений в квантовой механике и, чтобы это обойти приходится ухищряться и судить о той спичке, которая была, да еще в добавок не по самой спичке, а по маленькому кусочку фотографии ее обожжоной головки. Реально измерить мы можем очень не многое и то, что мы можем измерить — называется измеряемым (например мы умеем мерить длину). А измеряем мы обычно сам предмет (стол). Неизмеряемым и ненаблюдаемым в данном случае является плотность стола. Она есть совершенно точно, но линейкой ее померить нельзя, и на размеры она не влияет (тут не совсем точно, но не придирайтесь).Теперь про поля. Заряд предстваить себе легко — просто точка с написанным рядышком плюсиком (или минусиком). Сложнее представить поле. Проще всего это сделать представив тот же самый заряд но только в виде раздутого газового шарика (т.е. заряд не сосредоточен в точке а раздут по сфере). В центре этого шарика всеравно находится тот же самый заряд (точечка со знаком плюс или минус) и именно он пораждает поле (шарик). Поле определяется тем, что если в него попадет другой шарик, то на него начнет действовать сила (притяжения или отталкивания). Так вот тут вас могло сбить с толку фраза «Изменим во всех точках пространства потенциал на одинаковую величину, а поле останется тем же» — на самом деле нужно сначала понять что скрывается под определением скалярного потенциала. Скалярный потенциал это величина связывающая заряд (центральную точку) и шарик — поле (утрируя — его размеры). Изменить скалярный потенциал означает, в переводе на язык человека пользующего адоб флеш, например, будет означать «растянуть». Я не случайно сказал именно флеш, а не фотошоп, потому что к этому все и идет — мир он векторный и «растянув» картинку она по сути не изменится. Так вот если поставить рядом две картинки — оригинал и растянутую — они ничем отличаться не будут (пропорции). Если ваш разум достаточно извращен — можно эту схожесть назвать симметрией. Только вместо размеров шарика растягивают законы физики. Про магнитное поле все то же самое, просто там аналогия будет сложнее, потому что к этому шарику добавится, ну скажем, его вращение, а суть останется той же.

А теперь возвращаемся к ненаблюдаемому и неизмеряемому.

Допустим мы имеем два шарика — один нормальный, второй «растянутый» или симметричный. Засада в том, что мы их отличить, с помощью эксперимента не можем, потому что оба шарика будут при измерении вести себя абсолютно одинаково, но в сущности совершенно разные.

Ну, теперь-то вы все поняли?
1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (3 votes, average: 5,00 out of 5)
Загрузка...

Оставьте комментарий!

Оставьте ваш комментарий или trackback со своего сайта. Вы можете подписаться на новые комментарии через RSS.

Придерживайтесь темы записи. Никакого спама!

Вы можете использовать следующие тэги:
<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>